FUNGSI NON LINEAR

FUNGSI NON LINIER 

Fungsi non linier merupakan model yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan fungsi linier dalam penerapan ekonomi, karena sebagian dari model ekonomi linier yang ada, sesungguhnya merupakan linierisasi dari model non linier. Ada 4 macam bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi, yaitu : Fungsi Kuadrat, Fungsi Kubik, Fungsi Eksponensial, dan Fungsi Logaritma. Diantara ke empat fungsi nonlinier tersebut yang paling sering digunakan adalah fungsi kuadrat.

1. Fungsi kuadrat

Sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua). dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta. fungsi kuadrat terbagi menjadi beberapa jenis yaitu fungsi parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola. namun untuk di matematika ekonomi fungsi yang paling sering digunakan adalah fungsi parabola

Berikut persamaan dasar dari fungsi kuadrat untuk kurva parabola:

y = ax² + bx + c

dimana a dan b tidak boleh sama dengan nol

 A. Kurva Fungsi Kuadrat Parabola

Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa fungsi kuadrat terbagi menjadi beberapa jenis yaitu : Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola, akan tetapi pada pada penjelasan kali hanya dijelaskan mengenai gambar kurva fungsi kuadrat yang berbentuk parabola. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Berikut ini bentuk parabola berdasarkan sumbu simetris dan titik puncak

a. Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c ( ↑ atau ↓ )

D = Determinan

D = b² - 4ac

B. Langkah Langkah Membuat Kurva Fungsi kuadrat (Parabola)

     Berikut ini langah-langkah dalam melukis kurva fungsi kuadrat : 

     a. Tentukan kurva tersebut terbuka atau tertutup

 

1) Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c , dan a > 0, maka kurva terbuka ke atas (↑ 

2) Jika persamaan fungsinya y = 𝑎𝑥2 + bx + c , dan a < 0, maka kurva terbuka ke bawah (↓) 

     b. Tentukan titik potong terhadap sumbu y dan x

1) Jika titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0                                                                                     Contoh ; Terdapat persamaan y = x² + 6x + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu y 

Jawab : titik potong terhadap sumbu y, maka x = 0 

y = x² + 6x + 8 y = 02 + 6. 0 + 8 y = 0 + 0 + 8    ⇒  y = 8, maka koordinatnya (0, 8)

2) Jika titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0 

     Contoh : Terdapat persamaan y = x² + 6x + 8, tentukan titik potong terhadap sumbu x, jika nilai pada

      D > 0

      Jawab                                                                                                                                                            titik potong terhadap sumbu x, maka y = 0

 y = x² + 6x + 8 

0 = x² + 6x + 8, jika difaktorkan maka menghasilkan 

 (x + 4) (x + 2) = 0,                                                                                                                            x + 4 = 0 , atau x + 2 = 0 sehingga  x₁ = - 4, atau x₂ = -2 koordinat x₁ (- 4, 0), dan x₂ (-2, 0) Jika  persamaan tidak memiliki faktor-faktor rasional,                                                                            maka bisa digunakkan rumus ABC

    

dimana a tidak boleh bernilai nol

c. Tentukan titik puncaknya 

1) Jika kurva terbuka ke atas atau ke bawah, maka digunakan rumus titik puncak (x, y)

d. Tentukan titik-titik koordinat yang telah diketahui, kemudian gambar dengan cara menghubungkan antar titik-titik koordinat tsb.

Contoh soal 

1. Gambarlah parabola dari f(x) = x² - 2x - 8

    penyelesaian:

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
   x² - 2x - 8 = 0
   Kemudian kita faktorkan menjadi :
   ( x - 4 ) ( x + 2 ) = 0
   Maka akarnya :
   x - 4  = 0
   x - 4 + 4 = 0 + 4
   x = 4
   atau :
   x + 2 = 0
   x + 2 - 2 = 0 - 2
   x = -2
   Maka titik potong dengan sumbu x adalah ( -2, 0 ) ( 4, 0 ).
   Nilai x = 4 dan x = -2 disebut pembuat nol fungsi, artinya pada x = 4 dan x = -2 fungsi tersebut bernilai nol
2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
   y = 0² - 2(0) - 8
   y = -8
   Maka titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0, - 8 ) 
3. Menentukan sumbuh simetri grafik yaitu dengan rumus x = -b/2a
   pada persamaan f(x) = x² - 2x - 8, di dapat :
   a = 1
   b = -2
   c = -8
   maka kita masukan kedalam rumua x = -b/2a, menjadi :
   x = -(-2)/2(1)
   x = 1
   maka sumbu simetri x = 1 
4. Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dengan rumus x = -b/2a dan y = -D/4a, dengan D = b² - 4ac
   Karena a = 1, b = -2, dan c = -8, maka :
   x = -b/2a
   x = -(-2)/2(1)
   x = 1
   dan :
   y = -D/4a
   y = -(b² - 4ac)/4a
   y = -(2² - 4(1)(-8))/4(1)
   y = -(4 + 32)/4
   y = -(36)/4
   y = -36/4
   y = -9
   Maka titik balik atau titik puncaknya adalah (1, -9) 
5. Menentukan grafiknya terbuka kebawah jika a < 0 atau terbuka ke atas jika a > 0
   Karena a = 1 dan artinya a > 0 maka grafik atau parabola pasti terbuka ke atas :

C. PENERAPAN FUNGSI KAUDRAT PADA FUNGSI PERMINTAAN

Salah satu penerapan dari fungsi kuadrat dalam ekonomi adalah pada fungsi permintaan. Ciri khas dari fungsi kuadrat pada permintaan adalah memiliki nilai a < 0, sehingga akan memilik kurva parabola yang terbuka ke bawah ataupun ke kiri. Dan perlu diketahui bahwa kurva yang digunakan pada ekonomi adalah yang terletak pada kuadran I. Adapun bentuk persamaan fungsi kuadrat pada permintaan disajikan sebagai berikut :

P = −𝒂𝑸² + bQ + c

atau

Q = −𝒂𝑷² + bP + c

Keterangan : 

P           = harga produk,

Q          = jumlah produk yang diminta

c           = konstanta

a dan b = koefisien

MENENTUKAN KURVA FUNGSI KUADRAT PADA PERMINTAAN

Kurva fungsi kuadrat pada permintaan dapat ditentukan dengan menggunakan cara yang sama untuk menentukan kurva fungsi kuadrat pada umumnya, walaupun yang berbeda adalah penggunaan variabelnya. Untuk fungsi kuadrat pada permintaan, P sebagai Y, dan Q sebagai X. Agar lebih jelasnya mungkin bisa melihat penyelesain pada soal dibawah ini;

Jika fungsi permintaan P = 9 - 𝑄² , gambarkan kurva permintaannya

penyelesaian;

a. Tentukan arah parabola bentuk persamaan fungsi 

    P = 9 - 𝑄² , maka parabola terbuka ke bawah b. 

b. Tentukan jumlah titik potong terhadap sumbu Q dan P     

    1) Titik potong pada sumbu Q, maka P = 0

         P = 9 - 𝑄²

         0 = 9 - Q²

         (Q + 3) (-Q + 3) 

         Q + 3 = 0     atau      – Q + 3 = 0

         Q₁= -3 atau Q₂ = 3

         Koordinat Q₁ = (-3, 0) atau Q₂ = (3, 0)

B. Titik potong pada sumbu P, maka Q = 0

     P = 9 - 𝑄²

     P = 9 - (0)²

     P = 9      Koordinat P (0, 9)

C. Menentukan titik puncak 

     1. menggunakan rumus sumbu simetri, untuk menentukan posisi Q ketika P maximum atau 

         minimum

        Qe= -b/2a

        Qe= -0/2(1)

        Qe= 0

     2. menentukan nilai P max

         Pe= b²-4ac/4a

         Pe= -36/4

         Pe= -9

  jadi (Qe,Pe)=(0,-9)

d. Menggambar kurva parabolannya

     

DAFTAR PUSTAKA

Kusworo, dkk. 2019. Matematika Ekonomi. Tanggerang Selatan: Unpam Press