A. Pengertian Deret
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya. Dilihat dari jumlahnya suku yang membentuk, deret digolongkan atau deret terhingga dan takterhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-suku tertentu, sedangkan deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas. Sedangkan dilihat dari segi pola perubahan bilangan ada suku-sukunya, deret bisa dibeda-bedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.
Contoh: Jumlah kursi pada setiap barisnya dalam ruang seminar tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2". terdapat 7 baris kursi maka jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut dapat dihitung dengan cara: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku pada suatu deret disimbolkan dengan π7 maka pada deret 3 + 5+ 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... diperoleh π7 = 63. Uraian tersebut memperjelas definisi deret berikut. Berikut dapat dilihat beberapa contoh deret. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 dinamakan deret 6 bilangan asli pertama 2 + 3 + 5 + 7 + 11 dinamakan deret 5 bilangan prima pertama 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 dinamakan deret 7 bilangan genap pertama. Dalam Ilmu Ekonomi Deret Hitung dan Deret Ukur banyak digunakan dalam hal menghitung pertumbuhan penduduk dan pangan, mengukur biaya produksi dan pendapatan, serta menghitung bunga majemuk dalam dunia perbankan.
B. Deret Hitung (Aritmatika)
Deret aritmetika atau deret hitung adalah deret yang mempunyai beda yang tetap atau ππ − ππ−1 selalu tetap. Bentuk umum dari deret aritmetika atau deret hitung adalah π1 + π2 + π3 +. . . +ππ . Pada barisan bilangan, tiap –tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut suku. Hal ini juga berlaku untuk deret, yaitu setiap bilangan pada suatu deret disebut suku. Pada deret 1+5+9+13+17+..., maka: Suku ke-1= 1, ditulis π1 =1, Suku ke-2= 5, ditulis π2 =5,dst Barisan bilangan dinyatakan dengan
π1 , π2 , π3 ,..., ππ . dan
deret
bersesuaian dengan barisan bilangan itu dinyatakan dengan
yang
π1 + π2 +
π3 +. . . +ππ . Pada suatu deret, jika hasil dari π2 − π1 , π3 − π2 , π4 − π3 atau ππ − ππ−1 selalu tetap atau selalu sama, maka deret tersebut disebut deret aritmetika atau deret hitung.Bilangan yang selalu tetap itu disebut beda. Rumus suku ke- n deret aritmetika Dalam deret aritmetika π1 + π2 + π3 +. . . +ππ . Dengan beda b maka dapat ditentukan : πΌπ = πΌπ + (π − π)π Keterangan: πΌπ = suku ke-n
π = banyaknya suku
πΌπ = suku pertama
π = beda
Contoh: Dalam deret aritmetika diketahui π1 =5 dan π7 =29.tentukan besar bedanya!
Jawab: π1 =5 dan π7 =29 , π = 7
3
ππ = π1 + (π − 1)π π7 = 5 + (7 − 1)π 29 = 5 + (7 − 1)π 29 − 5 = (7 − 1)π 24 = 6π π=4 Jadi beda deret itu = 4 Rumus jumlah n suku pertama Jika n suku pertama dari deret aritmetika dinyatakan dengan ππ ,maka : ππ = π1 + π2 + π3 +. . . +ππ π2 = π1 + π π3 = π1 + 2π ππ−1 = ππ − π ππ−2 = ππ − 2π Jadi ππ = π1 + (π1 + π) + (π1 + 2π)+. . . +( ππ − π) + ( ππ − 2π) + (ππ ) Jika urutan suku-suku pada penjumlahan di atas dibalik urutannya maka susunannya menjadi: ππ = ππ + ( ππ − π) + ( ππ − 2π) + ⋯ + (π1 + π) + (π1 + 2π) + (π1 ) ππ = π1 + (π1 + π) + (π1 + 2π)+. . . +( ππ − π) + ( ππ − 2π) + (ππ ) ππ = ππ + ( ππ − π) + ( ππ − 2π)+. . . +(π1 + π) + (π1 + 2π) + (π1 ) 2ππ = (π1 + π2 ) + (π1 + ππ ) + (π1 + ππ )+. . . + (π1 + π2 ) + (π1 + ππ ) + (π1 + ππ ) maka 2 ππ = π(π1 + π2)
ππ = (π1 +π2 )
πΊπ = 2
π π(πΌπ + πΌπ ) ππππππ
πΊπ = 4
π π(πΌπ + (π − π)π π
C. Deret Ukur (Geometri)
Deret ukur merupakan deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan sukusuku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi antara nila suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Suatu deret yang memiliki rasio (perbandingan) yang tetap atau hasil dari
π2 π3 π4
ππ
π1
π−1
,π ,π ,……..π 2
3
, selalu tetap disebut
deret geometri atau deret ukur. Deret Geometri Naik dan Turun Suatu deret geometri yang nilai suku berikutnya lebih dari nilai suku sebelumnya, atau ππ+1 > ππ disebut deret geometri naik, sedangkan jika nilai suku berikutnya kurang dari nilai suku sebelumnya atau ππ+1 < ππ disebut deret geometri turun. Rumus suku ke-n pada deret geometri Dalam deret geometri π1 + π2 + π3 + ⋯ + ππ dengan rasio r dapat diperoleh hubungan-hubungan berikut ini. π2 = π1 + π = π1 + π 2−1 π3 = π1 + π 2 = π1 + π 3−1 π4 = π1 + π 3 = π1 + π 4−1 π5 = π1 + π 4 = π1 + π 5−1 ππ = π1 + π π−1 Berdasarkan uraian diatas, maka diperoleh rumus suku ke-n untuk deret geometri berikut ini : Rumus suku ke n suatu deret geometri adalah : πΌπ = πΌπ + ππ−π ππ = suku ke n
n = banyak suku
π1 = suku pertama
r = rasio
Jumlah n suku pertama deret geometri Bentuk umum deret geometri adalah :
5
π1 + π2 + π3 + ⋯ + ππ Jika Sn merupakan hasil penjumlahan deret geometri maka : ππ = π1 + π2 + π3 + ⋯ + ππ ππ = π1 + π2 + π3 + ⋯ + ππ ππ = π1 + (π1 π) + (π1 π 2 ) + ⋯ + (π1 π π−1 ) … … … … … … … … … … … … (1) Persamaan satu dikalikan denganr, maka : πππ = (π1 π) + (π1 π 2 ) + ⋯ + (π1 π π−1 ) + (π1 π π ) ππ = π1 + (π1 π) + (π1 π 2 ) + ⋯ + (π1 π π−1 ) πππ − ππ = −π1 π ππ − ππ = π1 π π − π1 (π − 1)ππ = π1 π π − π1 πΌπ π π − πΌπ πΊπ = (π − π) Dua hal yang penting untuk diketahui atau dihitung dalam setiap persoalan deret, baik deret hitung maupun deretukur, adalah besarnya nilai pada suatu suku tertentu dan jumlah nilai deret tersebut sampai dengan suku yang bersangkutan. D. Penerapan Ekonomi Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan [enad (relevant) dietrapkan untuk menganalisisnya.
a. Model Perkembangan Usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, baiaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau 6
penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variabel tersebut. b. Model BungaMajemuk Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang. Jika misalnya modal pokok sebesar P dihubungkan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebagai berikut : Setelah 1 tahun : F1= P + P . i = P ( 1 + i) Setelah 2 tahun : F2 = P ( 1 + i) + P ( 1 + i) i = P ( 1 + i)2 Setelah 3 tahun : F3 = P ( 1 + i)2 + P ( 1 + i)2 i = P ( 1 + i)3 .
.
Setelah n tahun : Fn = (.....) + (.....) i = P ( 1 + i)n Dengan demikian,jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah : Fn=P( 1 +i)n
P: jumlah sekarang
i: tingkat bunga per tahun
n: jumlah tahun
Contoh soal: Seorang nasabah Bank ABC meminjam uang di bank sebanyak Rp.5.000.000 untuk jangka waktu pinjaman 36 bulan , dengan tingkat bunga 2% per tahun. a.
Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat
pelunasan ? Jawab : Diketahui : P : 5.000.000 , n : 36 bulan = 3 tahun , i : 0,02
F= π (1 + π)π
πΉ3 = 5.000.000 (1 + 0,02)³ = 5.306.040 . Jadi jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan saat pelunasan Rp.5.306.040 b.
Jika perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan
tiap 6 bulan, berapa jumlah yang harus dia kembalikan? Jawab : Menggunakan rumus nilai sekarang (present value), dan jika bunga yang diperhitungkan dibayar tiap 6 bulan (setahun 2 semester, maka m = 2) πΉπ = π (1 + π π.π ) π
πΉ3 = 5.000.000 (1 + 0,01)²Ϋ°³
F3= 5.000.000(1 + 1,06152) = 5.307.600 Jadi jumlah uang yang dikembalikan menjadi lebih besar yaitu Rp.5.307.600
Komentar
Posting Komentar