Logika Matematika

Logika matematika

 

Pengertian Logika Matematika

Logika matematika adalah cabang logikadan matematikayang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika fisologis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konsruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

1. Kalimat

dalam logika matematika kita akan banyak bicara tentang kalimat. Kalimat dalam logika ada beberapa macam, yaitu kalimat terbuka, kalimat tertutup, dan bukan pernyataan.

a. Kalimat Terbuka 

Kalimat terbuka adlah kalimat yang belum diketahui nilai benar atau salahnya.kalimat terbuka biasanya mengandung variabel.

Contoh: x + 2 = 10

Variabel x dapat diganti dengan sembarang bilangan.
Jika x diganti dengan 8, kalimat terbuka x + 2 = 10 akan bernilai benar. Jadi, himpunan penyelesaiannya = 8.

b. Kalimat Tertutup 

Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentuka nilai benar atau salahnya.

contoh:

"setiap segitiga siku siku adalah segitiga samakaki"

dari pernyataan bisa ditentukan bahwa kalimat diatas bernilai salah karena tidak semua segitiga siku sikiu adalah segitiga sama kaki.

Negasi ingkaran/Lawan

negasi dari suatu pernyataan adalah kebalikan dari pernyataan tersebut. jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasi dari pernyataan tersebut adalah salah. jika bernilai salah maka negasi bernilai benar.

• Jika (p) bernilai benar (B), maka ingkarannya (~p) bernilai salah (S).
• Jika (p) bernilai salah (S), maka ingkarannya (~p) bernilai benar (B).

Pernyataan majemuk 

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk dari gabungan beberapa kalimat tunggal dengan menggunakan kata penghubung. kata penghubung dalam matematika adalah disjungsi(atau), konjungsi(dan), implikasi(maka), biimplikasi (jika dan hanya jika).

Tabel kebenaran.

sumber dokumen: matematikakhu.blogspot.com

dengan

 B= benar

 S= salah

1. Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”.(lihat tabel 1.1)

2. Konjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”.(lihat tabel 1.1)

3.Implikasi (⟹)

Implikasi adalah hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama.

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang ditandai dengan notasià’.Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’.

(lihat tabel 1.1)

4. Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p⟺q”.(lihat tabel 1.1

Hukum-hukum Logika Matematika

a. Hukum komutatif

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

b. Hukum asosiatif

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

c. Hukum distributif

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

d.Hukum identitas

p ∧ B ≡ p

p ∨ S ≡ p

e. Hukum ikatan

p ∧ S ≡ S

p ∨ B ≡ B

f. Hukum negasi

p ∧ ~p ≡ S

p ∨ ~p ≡ B

g. Hukum negasi ganda

~(~p) ≡ p

h. Hukum idempotent

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

i. Hukum De Morgan

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

j. Hukum penyerapan

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Invers, Konvers, dan Kontraposisi Logika  Matematika

Invers dari {\displaystyle p\to q} adalah ~p → ~q

Konvers dari {\displaystyle p\to q} adalah q → p

Kontraposisi dari {\displaystyle p\to q} adalah ~q → ~p

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

1. Model Ponens Sunting

           premis 1: p → q

           premis 2: p

           kesimpulan: q

2. Modus tollens Sunting

           premis 1: p → q

           premis 2: ~q

           kesimpulan: ~p

3. Silogisme Sunting

           premis 1: p → q

           premis 2: q → r

           kesimpulan: p → r